MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Medidas de tendencia central: Media, Mediana, Moda

as medidas de tendencia central más comunes son:

La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio.

 Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior.

La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución. 

Se representa como Md.

La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. 

Se representa Mo.

La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos 

más extendidos.² Se le llama también promedio o, simplemente, media.

Definición formal

Dado un conjunto numérico de datos, x₁, x₂, ..., x_n, se define su media aritmética como

MEDIANA

Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula

Ecuación 5-

Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,

Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a  (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor.

En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta porciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales.

3. MODA

La medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como multimodal.

En conclusión las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.

Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:

LEY DE SENOS Y COSENOS

MEDIDAS DE DISPERSION

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Rango:

Es la primera medida que vamos a estudiar, se define como la diferencia existente entre el valor mayor y el menor de la distribución,. Lo notaremos como R. Realmente no es una medida muy significativa e la mayoría de los casos, pero indudablemente es muy fácil de calcular.

Desviación: Es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la media aritmética. La denotaremos por d_i .

No es una medida, son muchas medidas, pues cada valor de la variable lleva asociada su correspondiente desviación, por lo que precisaremos una medida que resuma dicha información.

La primera solución puede ser calcular la media de todas las desviaciones, es decir, si consideramos como muestra la de todas las desviaciones y calculamos su media. Pero esta solución es mala pues como veremos siempre va a ser 0.

Luego por lo tanto esta primera idea no es valida, pues las desviaciones positivas se contrarrestan con las negativas.

Para resolver este problema, tenemos dos caminos:

• Tomar el valor absoluto de las desviaciones. Desviación media
• Elevar al cuadrado las desviaciones. Varianza.

Desviación media:

Es la media de los valores absolutos de las desviaciones, y la denotaremos por d_m.

Varianza:

Es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos por o también por .

Aunque también es posible calcularlo como:

Este estadístico tiene el inconveniente de ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado de la unidad de la variable, por ejemplo, si la variable viene dada en cm. La varianza vendrá en cm².

REGLAS DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD
 La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, tienen carácter aleatorio,es decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno de la probabilidad.

REGLA DE ADICIÓN

Regla de la suma y otras propiedades de la pro-
babilidad
3.1. Operaciones con sucesos
Llamamos suma o unión de los sucesos A y B al suceso compuesto tanto
por los sucesos elementales que componen A como por los que componen
B. Los sucesos elementales que componen tanto A como B se cuentan una
sola vez. Designamos mediante A ∪ B a la suma de los sucesos A y B.

Ejemplo 8. Tiremos un dado, y designemos mediante A el suceso de obtener
una cantidad par de puntos; mediante B, una cantidad múltiplo de tres. El
suceso A = {2, 4, 6}, mientras que B = {3, 6}. Por eso
A ∪ B = {2, 3, 4, 6}.
El resultado 6 aparece en ambos sucesos. Observemos que el suceso B se
puede obtener como la suma de los sucesos {3} y {6}.

La definición de suma de sucesos puede extenderse de forma natural
a una cantidad arbitraria de sucesos A,B, . . . ,K. La suma de los suceso
anteriores, que designamos A ∪ B ∪ · · · ∪ K, es el suceso compuesto por
todos aquellos sucesos elementales que componen por lo menos uno de los
sucesos elementales dados A,B, . . . ,K. De esta forma, el suceso A en el
ejemplo anterior del dado se puede obtener como unión de tres sucesos:
A = {2} ∪ {4} ∪ {6}.

Regla de la suma
Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen
puntos en com´un, es decir, su intersecci´on es vac´ıa: A ∩ B = ∅.
Teorema 1 (Regla de la suma). La probablidad de la suma de dos sucesos
incompatibles A y B es la suma de sus probabilidades, es decir
P(A ∪ B) = P(A) + P(B). (4)
Demostraci´on. Designemos mediante nA y nB a la cantidad de elementos
de A y B, respectivamente. Como A y B no tienen puntos en com´un, su
uni´on A∪B tiene nA+nB puntos, que son los casos favorables para A∪B.
Entonces
P(A ∪ B) =
nA + nB
n
=
nA
n
+
nB
n
= P(A) + P(B).
donde la ´ultima igualdad se obtiene también por la definición de probabili-
dad.
Decimos que los sucesos A1, . . . ,Am son incompatibles dos a dos cuando
todas las parejas posibles de sucesos distintos son incompatibles, es decir,
cuando Ai ∩ Aj = ∅.
Si A, B y C son tres sucesos incompatibles no es difícil establecer, te-
niendo en cuenta el teorema anterior, que
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C).
M´as en general, si A1, . . . ,An son sucesos incompatibles dos a dos, la regla
de la suma es la fórmula
P(A1 ∪ · · · ∪ An) = P(A1) + · · · + P(An) =
Xn
k=1
P(Ak).
Esta fórmula incluye a las dos anteriores en los casos en que n = 2 y n = 3,
y se demuestra mediante la aplicación sucesiva de la fórmula (4).

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Regla especial de la multiplicación La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Recuerda que dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Esta regla se escribe: P(A y B) = P(A) P (B)
Ejemplo:
Cristina tiene acciones en IBM y GE. La probabilidad de que las acciones de IBM aumenten de valor el próximo año es 0.5, y la probabilidad de que las acciones de GE aumenten su valor el próximo año es 0.7.
Suponga que las acciones de ambas empresas son eventos independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que las acciones de ambas empresas incrementen su valor el próximo año? P (IBM y GE) = (0.5) (0.7) = 0.35
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas acciones aumente su valor durante el próximo año? P(al menos una) = (0.5) (0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.15 + 0.35 +0.35 = 0.85

Probabilidad condicional La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A  B).

Regla general de la multiplicación
 La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran.
 La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B.
 La probabilidad conjunta P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A) P (B/A) o P(A y B) = P (B) P(A/B)