PROBABILIDAD
La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, tienen carácter aleatorio,es decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno de la probabilidad.
REGLA DE ADICIÓN
Regla de la suma y otras propiedades de la pro-
babilidad
3.1. Operaciones con sucesos
Llamamos suma o unión de los sucesos A y B al suceso compuesto tanto
por los sucesos elementales que componen A como por los que componen
B. Los sucesos elementales que componen tanto A como B se cuentan una
sola vez. Designamos mediante A ∪ B a la suma de los sucesos A y B.
Ejemplo 8. Tiremos un dado, y designemos mediante A el suceso de obtener
una cantidad par de puntos; mediante B, una cantidad múltiplo de tres. El
suceso A = {2, 4, 6}, mientras que B = {3, 6}. Por eso
A ∪ B = {2, 3, 4, 6}.
El resultado 6 aparece en ambos sucesos. Observemos que el suceso B se
puede obtener como la suma de los sucesos {3} y {6}.
La definición de suma de sucesos puede extenderse de forma natural
a una cantidad arbitraria de sucesos A,B, . . . ,K. La suma de los suceso
anteriores, que designamos A ∪ B ∪ · · · ∪ K, es el suceso compuesto por
todos aquellos sucesos elementales que componen por lo menos uno de los
sucesos elementales dados A,B, . . . ,K. De esta forma, el suceso A en el
ejemplo anterior del dado se puede obtener como unión de tres sucesos:
A = {2} ∪ {4} ∪ {6}.
Regla de la suma
Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen
puntos en com´un, es decir, su intersecci´on es vac´ıa: A ∩ B = ∅.
Teorema 1 (Regla de la suma). La probablidad de la suma de dos sucesos
incompatibles A y B es la suma de sus probabilidades, es decir
P(A ∪ B) = P(A) + P(B). (4)
Demostraci´on. Designemos mediante nA y nB a la cantidad de elementos
de A y B, respectivamente. Como A y B no tienen puntos en com´un, su
uni´on A∪B tiene nA+nB puntos, que son los casos favorables para A∪B.
Entonces
P(A ∪ B) =
nA + nB
n
=
nA
n
+
nB
n
= P(A) + P(B).
donde la ´ultima igualdad se obtiene también por la definición de probabili-
dad.
Decimos que los sucesos A1, . . . ,Am son incompatibles dos a dos cuando
todas las parejas posibles de sucesos distintos son incompatibles, es decir,
cuando Ai ∩ Aj = ∅.
Si A, B y C son tres sucesos incompatibles no es difícil establecer, te-
niendo en cuenta el teorema anterior, que
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C).
M´as en general, si A1, . . . ,An son sucesos incompatibles dos a dos, la regla
de la suma es la fórmula
P(A1 ∪ · · · ∪ An) = P(A1) + · · · + P(An) =
Xn
k=1
P(Ak).
Esta fórmula incluye a las dos anteriores en los casos en que n = 2 y n = 3,
y se demuestra mediante la aplicación sucesiva de la fórmula (4).
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Regla especial de la multiplicación La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Recuerda que dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Esta regla se escribe: P(A y B) = P(A) P (B)
Ejemplo:
Cristina tiene acciones en IBM y GE. La probabilidad de que las acciones de IBM aumenten de valor el próximo año es 0.5, y la probabilidad de que las acciones de GE aumenten su valor el próximo año es 0.7.
Suponga que las acciones de ambas empresas son eventos independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que las acciones de ambas empresas incrementen su valor el próximo año? P (IBM y GE) = (0.5) (0.7) = 0.35
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas acciones aumente su valor durante el próximo año? P(al menos una) = (0.5) (0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.15 + 0.35 +0.35 = 0.85
Probabilidad condicional La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A B).
Regla general de la multiplicación
La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran.
La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B.
La probabilidad conjunta P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A) P (B/A) o P(A y B) = P (B) P(A/B)
La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, tienen carácter aleatorio,es decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno de la probabilidad.
REGLA DE ADICIÓN
Regla de la suma y otras propiedades de la pro-
babilidad
3.1. Operaciones con sucesos
Llamamos suma o unión de los sucesos A y B al suceso compuesto tanto
por los sucesos elementales que componen A como por los que componen
B. Los sucesos elementales que componen tanto A como B se cuentan una
sola vez. Designamos mediante A ∪ B a la suma de los sucesos A y B.
Ejemplo 8. Tiremos un dado, y designemos mediante A el suceso de obtener
una cantidad par de puntos; mediante B, una cantidad múltiplo de tres. El
suceso A = {2, 4, 6}, mientras que B = {3, 6}. Por eso
A ∪ B = {2, 3, 4, 6}.
El resultado 6 aparece en ambos sucesos. Observemos que el suceso B se
puede obtener como la suma de los sucesos {3} y {6}.
La definición de suma de sucesos puede extenderse de forma natural
a una cantidad arbitraria de sucesos A,B, . . . ,K. La suma de los suceso
anteriores, que designamos A ∪ B ∪ · · · ∪ K, es el suceso compuesto por
todos aquellos sucesos elementales que componen por lo menos uno de los
sucesos elementales dados A,B, . . . ,K. De esta forma, el suceso A en el
ejemplo anterior del dado se puede obtener como unión de tres sucesos:
A = {2} ∪ {4} ∪ {6}.
Regla de la suma
Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen
puntos en com´un, es decir, su intersecci´on es vac´ıa: A ∩ B = ∅.
Teorema 1 (Regla de la suma). La probablidad de la suma de dos sucesos
incompatibles A y B es la suma de sus probabilidades, es decir
P(A ∪ B) = P(A) + P(B). (4)
Demostraci´on. Designemos mediante nA y nB a la cantidad de elementos
de A y B, respectivamente. Como A y B no tienen puntos en com´un, su
uni´on A∪B tiene nA+nB puntos, que son los casos favorables para A∪B.
Entonces
P(A ∪ B) =
nA + nB
n
=
nA
n
+
nB
n
= P(A) + P(B).
donde la ´ultima igualdad se obtiene también por la definición de probabili-
dad.
Decimos que los sucesos A1, . . . ,Am son incompatibles dos a dos cuando
todas las parejas posibles de sucesos distintos son incompatibles, es decir,
cuando Ai ∩ Aj = ∅.
Si A, B y C son tres sucesos incompatibles no es difícil establecer, te-
niendo en cuenta el teorema anterior, que
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C).
M´as en general, si A1, . . . ,An son sucesos incompatibles dos a dos, la regla
de la suma es la fórmula
P(A1 ∪ · · · ∪ An) = P(A1) + · · · + P(An) =
Xn
k=1
P(Ak).
Esta fórmula incluye a las dos anteriores en los casos en que n = 2 y n = 3,
y se demuestra mediante la aplicación sucesiva de la fórmula (4).
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Regla especial de la multiplicación La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Recuerda que dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Esta regla se escribe: P(A y B) = P(A) P (B)
Ejemplo:
Cristina tiene acciones en IBM y GE. La probabilidad de que las acciones de IBM aumenten de valor el próximo año es 0.5, y la probabilidad de que las acciones de GE aumenten su valor el próximo año es 0.7.
Suponga que las acciones de ambas empresas son eventos independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que las acciones de ambas empresas incrementen su valor el próximo año? P (IBM y GE) = (0.5) (0.7) = 0.35
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas acciones aumente su valor durante el próximo año? P(al menos una) = (0.5) (0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.15 + 0.35 +0.35 = 0.85
Probabilidad condicional La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A B).
Regla general de la multiplicación
La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran.
La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B.
La probabilidad conjunta P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A) P (B/A) o P(A y B) = P (B) P(A/B)
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